Свойства передаточной функции

Сравнивая формулы (4.59) и (4.35), можно убедиться, что функция K(p) есть результат аналитического продолжения частотного коэффициента передачи K(jw) с мнимой оси jw на всю плоскость комплексных частот р=s+jw. Функция К(р) аналитична на всей плоскости р, за исключением конечного числа точек р1, p2, … , pn, являющихся корнями знаменателя в формуле (4.59). Данные точки, т.е. корни уравнения

,

называют полюсами передаточной функции К(р).

Точки z1, z2, … , zm, представляющие собой корни уравнения

,

называют нулями данной передаточной функции.

Вынося общий множитель К0, возникающий при делении в (4.59) числителя на знаменатель, получаем так называемое нуль – полюсное представление передаточной функции:

.                                 (4.60)

Вещественность коэффициентов дифференциального уравнения (4.57) обусловливает следующие свойство нулей и полюсов: все эти числа либо вещественны, либо образуют комплексно-сопряжённые пары.

Полюсы передаточной функции линейной системы являются корнями характеристического уравнения (4.33). Поэтому для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы эти полюсы располагались строго в левой полуплоскости комплексной переменной p. Нули передаточной функции в общем случае могут располагаться как в левой, так и в правой полуплоскостях.