Формула обращения

Заключительным этапом решения задачи о прохождении сигнала через линейную стационарную систему с помощью операторного метода является поиск оригинала, которому отвечает изображение Uвых(р) = К(р)Uвх(р). Рассмотрим частный случай, когда функция Uвых(р) представляет собой отношение двух многочленов по степеням комплексной частоты: , причём будем считать, что степень числителя m не превосходит степени знаменателя n и, кроме того, …

Continue reading ‘Формула обращения’ »

Свойства передаточной функции

Сравнивая формулы (4.59) и (4.35), можно убедиться, что функция K(p) есть результат аналитического продолжения частотного коэффициента передачи K(jw) с мнимой оси jw на всю плоскость комплексных частот р=s+jw. Функция К(р) аналитична на всей плоскости р, за исключением конечного числа точек р1, p2, … , pn, являющихся корнями знаменателя в формуле (4.59). Данные точки, т.е. корни …

Continue reading ‘Свойства передаточной функции’ »

Решение дифференциальных уравнений операторным методом

Преобразование Лапласа является исключительно гибким и мощным методом, позволяющим путем стандартных процедур находить решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Пусть дифференциальное уравнение:                       (4.56) устанавливает закон соответствия между сигналами на входе и выходе некоторой     линейной стационарной системы. Наложим некоторые ограничения. Сделаем допущение, что входной сигнал uвх(t) = 0 при t < 0. Кроме того, …

Continue reading ‘Решение дифференциальных уравнений операторным методом’ »

Коэффициент передачи многозвенной системы

В радиотехнике часто используют сложные системы, отдельные звенья которых включены каскадно, т.е. выходной сигнал предыдущего звена служит входным сигналом для последующего звена. Примером такой системы может служить многозвенный усилитель. Положим, что известны частотные коэффициенты передачи отдельных звеньев Kn(jw), n = 1, 2, … , N. Возбуждая первое звено сигналом uвх(t) = exp(jwt), получим на выходе …

Continue reading ‘Коэффициент передачи многозвенной системы’ »

Угол между векторами входного и выходного сигналов

В разделе 1 обсуждался способ сравнения двух сигналов, основанный на вычислении угла y, образованного векторами данных сигналов в гильбертовом пространстве. Эту же идею можно использовать для сопоставления сигналов на входе и выходе линейной стационарной системы (рис. 4.10). Обобщённая формула Релея позволяет выразить скалярное произведение этих сигналов через их спектральные плотности: Поскольку мнимая часть коэффициента передачи …

Continue reading ‘Угол между векторами входного и выходного сигналов’ »

Вычисление сигнала на выходе системы

Как пример использования спектрального метода, решим задачу о прохождении экспоненциального видеоимпульса напряжения uвх(t) = U0exp(-at)s(t) через RC-цепь, рассмотренную ранее. В данном случае спектральная плотность входного сигнала uвх(w) = U0/(a+jw) и задача сводится к вычислению интеграла, входящего в выражение . Разлагая алгебраическую часть подынтегральной функции на элементарные дроби, имеем . Структура слагаемых, стоящих в скобках, позволяет …

Continue reading ‘Вычисление сигнала на выходе системы’ »

4.4. Спектральный метод

Говоря о спектральном методе анализа прохождения радиотехнических сигналов через линейные стационарные системы, обычно имеют в виду целый комплекс математических приёмов, в основе которых лежит использование свойств частотного коэффициента передачи системы.

Описание линейных динамических систем в пространстве состояний

Любое дифференциальное уравнение n-го порядка вида (4.31) можно преобразовать в систему дифференциальных уравнений первого порядка. Для этого следует ввести совокупность вспомогательных функций, построенную по правилу: x1(t) = uвых(t),  x2(t) = u’вых(t), … , xn(t) = . Данные функции являются координатами вектора состояния (t) = (x1, x2, … , xn), который принадлежит пространству состояний рассматриваемой динамической …

Continue reading ‘Описание линейных динамических систем в пространстве состояний’ »

Собственные колебания динамических систем

Чтобы полностью определить поведение динамической системы, описываемой уравнением (4.31), требуется учесть начальные условия, которые характеризуют внутреннее состояние системы в некоторой фиксированный момент времени. Обычно принято задавать искомую функцию и её n-1 производную при t = 0:  . Из теории дифференциальных уравнений известно, что решением уравнения (4.31), удовлетворяющим любым начальным условиям, является сумма некоторого частного решения …

Continue reading ‘Собственные колебания динамических систем’ »