Угол между векторами входного и выходного сигналов

В разделе 1 обсуждался способ сравнения двух сигналов, основанный на вычислении угла y, образованного векторами данных сигналов в гильбертовом пространстве. Эту же идею можно использовать для сопоставления сигналов на входе и выходе линейной стационарной системы (рис. 4.10).

Обобщённая формула Релея позволяет выразить скалярное произведение этих сигналов через их спектральные плотности:

Поскольку мнимая часть коэффициента передачи есть нечётная функция частоты, последняя формула упрощается:

.         (4.51)

Угол y между векторами входного и выходного сигналов можно найти из соотношения

.                                              (4.52)

Пример 4.3. Вычислить угол y между сигналами на входе и выходе RC-цепи, имеющий частотный коэффициент передачи: K(jw) = 1/(1+jwt), при воздействии идеальным низкочастотным сигналом, энергетический спектр которого отличен от нуля и равен W0 лишь в пределах интервала частот 0 <w< wв.

Поскольку здесь ReK(jw) = 1/(1+w2t2), в данном  частном случае интеграл (4.51) численно равен квадрату нормы выходного сигнала. Отсюда следует, что

.            (4.53)

Если произведение wвt » 1, то Cosy®0. Это означает, что RC-цепь создаёт на выходе сигнал, почти     ортогональный по отношению к сигналу на входе    (рис. 4.11). Природу этого эффекта можно понять из качественных рассуждений, приняв во внимание, что благодаря инерционным свойствам цепи выходной сигнал задерживается во времени.