6.4. Метод Бруне

Основные этапы метода Бруне следующие.

1. Прежде всего, проверяют, не содержит ли заданное Z(p) [назо­вем его Z_зaд (p)] полюсов на мнимой оси. Если они имеются, то из состава Z_зад(p) выделяют соответствующие этим полюсам один или несколько последовательно включенных параллельных резонансных контуров. В результате получают:

Z_зад(p) – . (6.5)

Этот этап соответствует переходу от цепи (рис. 6.4, а) к цепи (рис. 6.4, б). Коэффициент .

Функция Z (р) не имеет полюсов на мнимой оси и представляет собой функцию минимального реактивного сопротивления.

2. Полагая р =, в Z() выделяют действительную часть, т.е. находят ReZ() и определяют частоту , при которой ReZ(jw) ми­нимальна.

Эта частота может быть равна нулю, бесконечности или иметь некоторое конечное значение (в последнем случае ее будем на­зывать w₀). Подсчитаем также минимальное значение ReZ(jw), кото­рое назовем R_min.

3. Из Z(p) вычитают R_min и находят Z₁(p). Этой операции соот­ветствует переход от схемы (рис. 6.4, б) к схеме (рис. 6.4, в). Заметим, что сте­пени числителя и знаменателя Z₁(p) одинаковы.

4. Если частота, при которой действительная часть комплексного сопротивления имеет минимум ReZ(jw), равна нулю или бесконечности, то уже на этой стадии делается попытка реализовать Z(p) лестничной схемой. Если же минимум ReZ(jw) существует

при некоторой w = w₀, отличающейся от 0 и , то даль­нейшую реализацию

производят

в соответствии с условиями Дерихле (см. пп. 5 – 12).

5. Подсчитывают Z₁(р) при р = jw₀. Так как при частоте р = jw₀ действительная часть Z(р) = R_min, то действительная часть разности Z(jw₀) – R_min равна нулю, т.е. Z₁(jw₀) представляет собой чисто реак­тивное сопротивление Z₁(jw₀) = jX₁.

6. Возможны два случая. Первый, когда X₁ > 0, второй, когда X₁ < 0.

Будем полагать X₁ =w₀L₁ > 0.

Тогда

L₁ = X₁ / w₀.

(6.6)

7. Составим разность Z₁(р) – pL₁ и приведем ее к общему знаме­нателю. Так, например, если исходить из того, что

,

то проводимость оставшейся для реализации части двухполюсника равна:

.

Обратим внимание на то, что в знаменателе Y₀(р) имеется слагае­мое –р³L₁, которое при дальнейшей реализации приведет к появле­нию в схеме отрицательной индуктивности.

8. Поскольку при р = jw₀ Z₁(p) – pL₁ = 0, то Y₀(p) =, т.е. р = jw₀ является полюсом Y₀(p). Наличие полюса у Y₀(p) позволяет представить оставшуюся часть двухполюсника ветвью из последова­тельно соединенных L₂ и С₂, настроенной в резонанс на частоту w₀, и параллельно ей присоединенного двухполюсника с сопротивлением Z₂(p) (рис. 6.4, г):

.

(6.7)

9. Полагаем Z₂(p) = N(p) / M(р). Степени полиномов N₂(p) и M₂(p) должны быть такими, чтобы после приведения правой части выражения (6.7) к общему знаменателю, степень полинома числителя левой части равнялась степени полинома числителя правой части; то же и в отно­шении степеней знаменателей.

Так, если Y₀(p) соответствует выраже­нию (6.7), то

Z₂(р) = (с₁p + c₀)/d₀.

Методом неопределенных коэффициентов можно найти c₁, c₀, d₀ и L₂. В рассматриваемом случае:

Разность > 0; это следует из того, что условие X₁ > 0 означает, что

Im >0,

а при p = jw₀

ReZ₁(p) = 0.

10. Реализацию Z₂(p)

производят, как правило, лестничной схемой. Так, в рассматриваемом примере Z₂(р) реализуют индуктивностью L₃ =c₁ /d₀ = -w₀L₁ / b₀ и активным сопротивлением R₃ = a₀/b₀ (рис. 6.4, д). Важно обратить внимание на то, что L₃ оказалась отрицательной.

11. Так как физически осуществить отрицательную индуктивность невозможно, то дальнейший этап реализации в методе Бруне состоит в том, чтобы три магнитно не связанные индуктивности L₁, L₂ и L₃, заменить трансформатором, состоящим из индуктивностей L₄ и L₅, между которыми имеется магнитная связь (взаимная индуктивность М). Это действие является обратным по отношению к операции «развя­зывания» магнитносвязанных цепей.

На рис. 6.4, e изображены два участка цепи: левый до преобра­зования, правый – после преобразования; показаны положительные направления токов в ветвях и указаны одноименные зажимы катушек. Напряжения между точками 1 и 2 для обоих участков цепи в силу их эквивалентности должны быть одинаковы, т.е.

pL₁I₁ + pL₂I₂ = pL₄I₁ – pMI₃;

-pL₂I₂ + pL₃I₃ = pL₅I₃ – pMI₁.

Подставляя в эти две строки I₁ = I₂ + I₃ и учитывая, что каждое из уравнений должно удовлетворяться при любых значениях токов, получим:

M = L₂; L₄ = L₁ + L₂; L₅ = L₂ + L_3,

где L₄ и L₅ положительны. Окончательная схема изображена на рис. 6.5, ж.

12. Если условиться сумму степеней полиномов в числителе и зна­менателе Z_зaд(р) называть порядком Z_зад(р), то совокупность пере­численных операций (цикл Бруне) позволяет снизить порядок на 4. Естественно, что потребность в каком-либо одном или нескольких этапах в любом конкретном примере может и не возникнуть (напри­мер, в этапах 1 или 3).

Для Z_зaд(p), порядок которых достаточно высок, может возник­нуть потребность применить эту последовательность операций ни один раз. В заключение заметим, что если (см. п. 5) Х₁<0, то L₁<0, а вычитание (согласно п. 7) сопротивления -p[L₁] сводится к прибав­лению сопротивления +р|L₁|.

Некоторым недостатком метода Бруне является его относительная сложность и необходимость введения в схему идеального трансфор­матора с коэффициентом связи

К² = М²/(L₄L₅) = 1.