Спектральная плотность дельта-функции

Пусть сигнал s(t) представляет собой короткий импульс, сосредоточенный в точке      t = 0 и имеющий площадь A. Такой сигнал имеет математическую модель s(t) = Ad(t). Спектральная плотность этого сигнала

.

На основании фильтрующего свойства дельта-функции входящий сюда интеграл численно равен значению классической функции в точке, где сосредоточена обобщенная функция. Поэтому:

S(w) = A = const.                                                 (2.25)

Дельта-импульс имеет равномерный спектр на всех частотах. Такое поведение спектра дельта-функции есть следствие исходной идеализации.

Интересно интерпретировать этот результат на векторной диаграмме (см.        рис. 2.5). В момент возникновения импульса (t = 0) все элементарные гармонические составляющие складываются когерентно, поскольку в соответствии с (2.25) спектральная плотность вещественна. Амплитуды этих составляющих при увеличении частоты не убывают. Таким образом, при t = 0 наблюдается бесконечно большое значение сигнала. Во все другие моменты времени сигнал будет обращаться в нуль, так как векторная сумма “свёртывается” в точку.