1.3.      Концентрация носителей заряда в полупроводнике. Уровень Ферми

Для описания распределения по энергиям носителей заряда в зонах полупроводника используют закон Ферми-Дирака и закон Максвелла-Больцмана. Данные законы представляют собой зависимости статистической вероятности заполнения энергетических уровней электронами или дырками при данной температуре.

В соответствии со статистикой Ферми-Дирака вероятность за­полнения энергетического уровня электроном определяется энер­гией W, соответствующей этому уровню, и абсолютной темпера­турой Т:

,                                         (1.2)

где W_F  – энергия уровня Ферми, формальное значение вероятности заполнения которого равно 1/2 и относительно которого кривая вероятности симметрична (рис. 1.4);

k = 1,38·10^-23 Дж/К – постоянная Больцмана.

Энергия уровня Ферми разделяет при темпера­туре   Т = 0 свободные и заполненные энергетические уровни, а также соответствует средней энергии «диапазона размытия» при любой другой температуре (рис. 1.4). Сим­метрия кривой вероятности заполне­ния относительно уровня Ферми означает одинаковую вероятность заполнения уровня электроном с энергией, большей на величину W – W_F, и вероятность освобождения уровня от электрона с энергией, на столько же меньшей энергии уровня Ферми. Следовательно, ниже уровня Ферми расположены разрешенные уровни в основном заполненные электронами, а выше – в основном свободные от электронов.

С помощью соотношения (1.2) можно определять заполнение элект­ронами зоны проводимости или ва­лентной зоны полупроводника. Но для валентной зоны удобнее говорить о дырках – пустых энергетических уровнях в валентной зоне. Любой энергетический уровень может быть либо занят электроном, либо свободен от электрона. Поэтому сумма вероят­ностей этих двух событий должна быть равна единице:

Р_n(W) + Р_p(W) = 1.

Тогда вероятность заполнения энергетического уровня дыркой

.                                           (1.3)

Уровень Ферми обычно расположен в запрещенной зоне энер­гетической диаграммы относительно далеко (в единицах энергии) от зоны проводимости и от валентной зоны, по сравнению с энер­гией kT (при T = 300 K энергия  = 0,025 эВ), т.е.

.                                                   (1.4)

Поэтому, если пренебречь единицей в знаменателе выражения (1.2), вероят­ность распределения электронов по энергетическим уровням зоны проводимости будет равна:

.                                               (1.5)

Последняя зависимость является статистикой Максвелла-Больцмана.

Аналогично найдем вероятность распреде­ления дырок по энерге­тическим уровням ва­лентной зоны с учетом выражений (1.3) и (1.4):

.                                                 (1.6)

Таким образом, для большинства полупроводников (невырож­денных) можно пользоваться статистикой Максвелла-Больцма­на и только в некоторых случаях для сильнолегированных полупроводников (вырож­денных) необходимо использовать статистику Ферми-Дирака. Разница в этих двух функциях распределения электронов по энергиям показана на рис. 1.5.

По оси абсцисс отложена вероятность P(W) заполнения электронами соответствующих энергетических уровней. Кривые распределения Ферми-Дирака и Максвелла-Больцмана всегда симметричны относительно уровня Ферми. Физический смысл имеют участки ветвей, пересекающие разрешенные уровни и зоны, поскольку вероятность обнаружения электронов внутри запрещенной зоны, где также проходят графики, на самом деле нулевая.

Вид функций распределения зависит от температуры. При Т = 0 К имеем ломаную линию: валентная зона полностью заполнена электронами с вероятностью, ра
вной 1 (P(W) = 1  при W < W_V ), а в зоне проводимости ни одного электрона нет (P(W) = 0  при W > W_C ). При повышении температуры начинается переброс электронов из валентной зоны в зону проводимости, поэтому вероятность их нахождения в валентной зоне уменьшается, а в зоне проводимости увеличивается. Кривая вероятности с повышением температуры постепенно распрямляется. В пределе при  функция распределения превращается в прямую вертикальную линию, определяющую вероятность заполнения любого разрешенного уровня P(W) = 0,5.

В собственном полупроводнике уровень Ферми лежит посередине запрещенной зоны.