1.5.      Определение уровня Ферми через концентрации носителей заряда

Определим первоначально равновесную концентрацию свободных электронов в невырожденном полупроводнике (n₀). Для этого надо, прежде всего, знать квантовую функцию распределения электронов по энергиям в зоне проводимости

.

Тогда n₀  найдем из выражения

.                                                     (1.9)

Функция распределения электронов по энергиям может быть получена перемножением функции вероятности заполнения энергетических уровней электронами P_n(W) и функции плотности энергетических состояний N(W):

.                                               (1.10)

Закон плотности энергетических состояний N(W) показывает изменение числа Z энергетических состояний внутри неизменного элементарного интервала энергии () в зависимости от расположения этого интервала на оси энергии. Эффективная плотность состояний в два раза больше эффективной плотности уровней в связи с тем, что на каждом энергетическом уровне могут находиться два электрона с различ­ными спинами (по принципу Паули). Закон плотности энергетических состояний имеет простой вид:

,

где ,  — эффективная масса электрона.

Определим равновесную концентрацию электронов в полупроводнике по формуле (1.9). Интегрирование нужно прово­дить от энергии дна до энергии потолка зоны проводимости. Если же учесть ничтожно малую вероятность заполнения уров­ней электронами у потолка зоны проводимости, то можно верх­ний предел интегрирования считать равным бесконечности, т.е.

,  (1.11)

где

                                          (1.12)

 — эффективная плотность состояний в зоне проводимости.

Аналогично, равновесная концентрация дырок в любом невырожденном полупроводнике при термодинамическом равновесии равна:

,                                                   (1.13)

где  — эффективная плотность состояний в валентной зоне.

Выразим энергию уровня Ферми через равновесную концентрацию носителей заряда. Из выражения (1.11) получаем:

.                                        (1.14)

Аналогично, из выражения (1.13) получаем:

.                                           (1.15)

Пример

Определить положение уровня Ферми в германии n-типа при температуре 300 К, если на 1·10⁶ атомов германия приходится один атом донорной примеси.

Концентрация атомов в германии равна 4,4·10²⁸ атомов на 1 м³. Ширина запрещенной зоны 0,72 эВ, а расстояние между дном зоны проводимости и донорным уровнем (энергия ионизации примеси) 0,01 эВ.

Решение

Поскольку задана комнатная температура, то можно утверждать, что практически все атомы примеси ионизированы, и пренебречь тепловой генерацией носителей самого полупроводника. Поскольку концентрация атомов в германии равна 4,4·10²⁸ атомов на 1 м³  и на 1·10⁶ атомов германия приходится один атом донорной примеси, то концентрация свободных электронов в нем составит:

n₀ = 4,4·10²²  м^-3.

Найдем значение N_C . Подстановка значений констант и температуры в выражение (1.12) дают:

 м^-3.

Используем выражение (1.14), получим:

 Дж.

Переводим джоули в электрон-вольты, деля значение в джоулях на заряд электрона, получим:

э