1. Для перехода от изображения F(p) к функции времени f(t) может быть использовано обратное преобразование Лапласа:
.
(а)
Функция F(р) аналитическая в области Re(p) > v и стремится к нулю при |р| ® 
.
При практическом использовании формулы (а) интеграл по бесконечной прямой, параллельной оси ординат, заменяют контурным интегралом, охватывающим все полюсы функции F(p):
(б)
Полюсами называют значения р, при которых F(p) обращается в бесконечность. В случае, когда F(р) = N(р) / М(р), полюсами являются корни уравнения М(р) = 0.
В теории функций комплексного переменного доказывается, что правая часть формулы (б) равна сумме вычетов (Res), подынтегральной функции во всех ее полюсах, то есть:
Вычетом функции в некотором полюсе называют величину, на которую уменьшается разделенный на 2pj контурный интеграл от этой функции, когда контур при его стягивании пересечет этот полюс. Но вычет функции 
в простом полюсе pk равен:
,
поэтому
.
2. Запишем формулу разложения при наличии кратных корней. Положим, что уравнение М(р) = 0 имеет q простых корней (р1, р2,…, рq), корень рr кратности r и корень ps кратности s. В этом случае формулу разложения запишем следующим образом:
.
Вывод
Если в расчёте напряжения на емкости или тока в индуктивности начальные условия не равных нулю, то в таком расчёте фиктивные операторные источники начальных условий необходимо домножать на i:
; 
.
