3.12. Дополнения к операторному методу

1. Для перехода от изображения F(p) к функции времени f(t) может быть использовано обратное преобразование Лапласа:

.

(а)

Функция F(р) аналитическая в области Re(p) > v и стремится к нулю при |р| ® .

При практическом использовании формулы (а) интеграл по бесконечной прямой, параллельной оси ординат, заменяют контурным интегралом, охватывающим все полюсы функции F(p):

(б)

Полюсами называют значения р, при которых F(p) обращается в бесконечность. В случае, когда F(р) = N(р) / М(р), полюсами явля­ются корни уравнения М(р) = 0.

В теории функций комплексного переменного доказывается, что правая часть формулы (б) равна сумме вычетов (Res), подынтегральной функции во всех ее полюсах, то есть:

Вычетом функции в некотором полюсе называют величину, на которую уменьшается разделенный на 2pj контурный интеграл от этой функции, когда контур при его стягивании пересечет этот полюс. Но вычет функции в простом полюсе pk равен:

,

поэтому

.

2. Запишем формулу разложения при наличии кратных корней. Положим, что уравнение М(р) = 0 имеет q простых корней (р1, р2,…, рq), корень рr кратности r и корень ps кратности s. В этом случае формулу разложения запишем следующим образом:

.

Вывод

Если в расчёте напряжения на емкости или тока в индуктивности начальные условия не равных нулю, то в таком расчёте фиктивные операторные источники начальных условий необходимо домножать на i:

; .

Adblock
detector